Lo de IE y Firefox es siempre un problema, ambos interpretan a su manera el HTML.
Firefox sigue las reglas del W3C forum, IE las que define Microsoft. Si a esto añades a Opera y Safari, pues vez que los diseñadores lo tienen complicado...
Te dará los mismos problemas arriba y deberías intentar solucionarlo en local.
En cuanto a la migración:
Sube el directorio completo de tu Web a tu hosting
Haz un backup de tu base de datos en local y subela al hosting
Crea una nueva base de datos y restaura el backup en la nueva
Crea un nuevo usuario de base de datos
Cambia el web.config con la nueva cadena de conexión y usuario
Apunta tu dominio sobre el directorio.
SI te da errores, verifica que el autouopgrade del web.config este en "false".
Espero que no se me haya escapado nada.
salu2